Un espacio de funciones de tipo James (página 2)

Partes: 1, 2

variaci´on acotada Vp[a,b]. La tesis se estructura en
una introducci´on y dos cap´itulos, cerrando la presentaci´on con las conclusiones y
recomendaciones del autor.

En el primer cap´itulo (“Preliminares”) se presentan los resultados b´asicos para el
(0)
de las sucesiones de
p-variaci´on acotada (el caso p = 2 corresponde al ya mencionado espacio de James)
como ejemplo de un espacio isom´etricamente isomorfo a su bidual sin ser re?exivo y
sus principales propiedades. Tambi´en se presentan algunas propiedades de los espa-
cios Cp[a,b] y Vp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas y de p-variaci´on

3

acotada respectivamente, as´i como sus relaciones de dualidad.

El segundo cap´itulo (“Un espacio de funciones de Tipo James”) est´a dedicado al
estudio del espacio de funciones JFp[a,b] anteriormente mencionado. Se muestran
interesantes propiedades de esos espacios, como su relaci´on con los ya mencionados
y su separabilidad o no separabilidad. Finalmente se proponen generalizaciones en
la forma de de?nir estos espacios de funciones, las cuales abren nuevas v´ias de in-
vestigaci´on.

Finalmente se presentan las “Conclusiones y Recomendaciones”, donde se resumen
los resultados fundamentales del trabajo, indicando posibles caminos de desarrollo
para el trabajo futuro.
4

El espacio vp de las sucesiones de p-variaci´on acotada
´
Cap´itulo 1

Preliminares

En este cap´itulo se exponen los resultados fundamentales necesarios para el desa-
rrollo posterior de este trabajo. Ellos incluyen el espacio de James, como ejemplo de
espacio semire?exivo de orden 1 y su generalizaci´on a los espacios de sucesiones y de
funciones de p-variaci´on acotada, as´i como la relaci´on de ´este ultimo con el espacio
de las funciones absolutamente p-continuas (ver, por ejemplo [20]).
1.1.
El espacio de las sucesiones de p-variaci´on
acotada

Los resultados que se exponen en este ep´igrafe no tendr´an una aplicaci´on inmedia-
ta en esta investigaci´on, referida a espacios de funciones. Sin embargo, se presentan
aqu´i, pues las ideas que conducen a las de?niciones de dichos espacios de funciones
parten en gran medida de estos resultados.
1.1.1.
(0)
n
Se denota por J al espacio de todas las sucesiones reales in?nitesimales x = (?n)8 =1,
para las cuales se cumple
x
J
= sup
n
n
i=1
|?k2i-1 – ?k2i|2
1
2
< 8,
(1.1)
donde el supremo se toma sobre todos los n´umeros naturales n y sobre todas las
sucesiones crecientes ?nitas k1,k2,…,k2n de n´umeros naturales. El espacio J se
conoce en la literatura como espacio de James y constituye un ejemplo cl´asico
de espacio normado semire?exivo de orden 1, quiere decir que la codimensi´on de
la proyecci´on can´onica p de dicho espacio sobre su bidual es igual a 1 (ver, por
ejemplo, [4]). El espacio de James J tambi´en puede ser nombrado espacio de las

6

vp
v2
vp , x vp (0)
vp
vp
´
sucesiones de 2-variaci´on acotada.

De modo an´alogo se de?ne el espacio de las sucesiones de p-variaci´on acotada:

Definicion 1.1
(0)
n
sucesiones in?nitesimales de p-variaci´on acotada si y s´olo si se cumple
l´im ?n = 0
n?8
(1.2)
x
(0)
= sup
n
n
i=1
|?k2i-1 – ?k2i|p
1
p
< 8
(1.3)
donde el supremo se considera como en la norma
x
(0)
= x
J.
El siguiente teorema, cuya demostraci´on se desarrolla de modo cl´asico (ver [20]),
caracteriza a este espacio como normado.
Teorema 1.1
(0)
es un espacio de Banach.
(0)
por ejemplo:
x
(1)
J
= sup
n
n-1
i=1
| ?ki – ?ki+1 |2
1
2
,
(1.4)
x
(2)
J
1
= sup v
n 2
n

i=1
| ?ki – ?ki+1 |2
1
2
,
(1.5)
donde el supremo en ambos casos se toma sobre todos los n´umeros naturales n y
todas las sucesiones crecientes ?nitas k1,k2,…,kn de n´umeros naturales (en el caso
(1.4) es kn+1 = k1).

De modo an´alogo se pueden de?nir normas equivalentes en el caso general del espacio
de las funciones de p-variaci´on acotada, a saber
x
(1)
(0)
= sup
n
n-1
i=1
| ?ki – ?ki+1 |p
1
p
,
(1.6)
x
(2)
(0)
1
= sup v
n 2
n

i=1
| ?ki – ?ki+1 |p
1
p
,
(1.7)
donde el supremo se toma como en (1.4) y (1.5) respectivamente.

7

´
n
´ i 8
x =
En este punto se debe hacer notar lo siguiente: En la construcci´on del supremo en el
caso de la norma
?jo), se consideran bajo la suma solamente diferencias de la forma | ?k2i-1 – ?k2i |p.
(1) (2)
(0) (0)
(2)
(0)
adem´as el sumando | ?kn – ?k1 |p que cierra el “ciclo”. (para la equivalencia de las
normas ver [20]).

Las bases de Schauder juegan un importante papel en el estudio de estos espacios.

Definicion 1.2
Sea (E, · ) un espacio de Banach.
Una sucesi´on (xn)8 =1 de E se dice base de Schauder de E si para todo
elemento x ? E existe una unica sucesi´on num´erica (ai) =1, tal que
8
aixi.
n
i 8
sup
n?N
i=1

Una base de Schauder (xn)8 =1 de E se dice mon´otona si para todo sistema
de escalares (ai) =1, se cumple que

n
i=1
aixi = 1.
n
n n
n
n
i 8
Sea k un n´umero entero positivo. Una base (xn)8 =1 del espacio de Banach E
es llamada k-contrahente si para la sucesi´on de funcionales biortogonales
(fn)8 =1 de (xn)8 =1 se cumple

codimE*[fn] = k,

donde [fn] denota al subespacio cerrado de E* generado por (fn)8 =1. En par-
ticular, si k = 0, entonces (xn)8 =1 se llama base contrahente.
Para los espacios de sucesiones de p-variaci´on acotada se cumple (ver [20]):

Teorema 1.2
Los vectores unitarios can´onicos (ei) =1 constituyen una base de Schauder
(0) (1)
vp
8

A partir de este teorema se puede identi?car al espacio bidual vp
de vp con
vp
la imagen can´onica de vp
vp
vp
vp
vp
n
i 8
sup
n
El siguiente teorema ofrece una importante aplicaci´on de las bases contrahentes (ver
[23]).

Teorema 1.3
Sea (xn)8 =1 una base contrahente del espacio de Banach (E, · ). Entonces su
espacio bidual E** puede ser identi?cado con el espacio de todas las sucesiones
num´ericas (ai) =1, para las que se cumple

n
l=1
alxl < 8.
(0)
**
(0)
i 8
sup
n
el espacio de todas las sucesiones num´ericas (ai) =1, para las cuales se cumple

n
i=1
aiei
(0)
< 8,
es decir, con el espacio de las sucesiones que cumplen que
sup
n
n

n=1
ak2i-1 – ak2i
p
1
p
< 8.
(1.8)
´
Obviamente se deduce de esta ultima expresi´on la existencia del l´imite l´imn?8 an.
**
Entonces vp es la c´apsula lineal de vp , o m´as exacto, la c´apsula lineal de
(0)
en
(0)
**
0
y de la funcional x** sobre
(0)
*
, que
0 *
0
est´a de?nida por

x**(en) = 1

para toda n ? N (es decir, x** es la funcional que se identi?ca con la sucesi´on
(1,1,1,…)).

A partir de ello se obtiene el siguiente teorema:(ver [20])

Teorema 1.4
(0)
**
isom´etricamente isomorfo a su espacio bidual vp respecto a las normas
·
(0)
y
·
(1)
(0)
.
9

vp
Sea p la inyecci´on can´onica de vp en vp
vp
El espacio dual del espacio vp
En la literatura se de?ne tambi´en en J una cuarta norma que tiene la expresi´on
x
(3)
(0)
= sup
n
n
i=1
|?k2i-1 – ?k2i|p + |?k2n+1|p
1
p
,
donde el supremo se toma sobre todos los n´umeros naturales n y todas las sucesiones
crecientes ?nitas k1,k2,…,k2n+1 de n´umeros naturales. A menudo esta norma se
presenta sin diferenciar de la ya conocida
2
en el art´iculo de R.C.James “Bases and re?exivity of Banach spaces” aparecido en
1950 en la revista “Annals of Mathematics”, la cual no hemos podido localizar. En
**
un trabajo posterior (ver [4]), James s´olo analiza la isometr´ia entre v2 y v2
respecto a la norma
2
(3) (0) (0)
vp
la isometr´ia (ver [20]).

El siguiente teorema presenta la semire?exividad del espacio de las sucesiones de
p-variaci´on acotada, en analog´ia a la cl´asica propiedad del espacio de James ([20]).
Teorema 1.5
(0) (0)
**
. Entonces es
codim
(0) **
p
p v(0) = 1.
1.1.2.
(0)
i 8
(0)
(0)
respondida en [20] a trav´es del espacio up, que se de?ne a continuaci´on:

Partiendo del conjunto de las sucesiones reales de soporte ?nito (o sea, sucesiones
?nitas) se introducen las siguientes denominaciones:

Un escal´on es una sucesi´on de la forma (0,…,0,a,…,a,0,…,0), donde a
es un n´umero real no nulo que se denomina altura del escal´on y se llama
signo del escal´on al valor sg(a).

Se llama soporte del escal´on x = (?i) =1 al conjunto
supp(x) = {i ? N;
?i = 0}.
(Como se trata de sucesiones ?nitas, el soporte siempre tiene que ser acotado.)

10

con x1 = (?i )8 =1,
x2 = (?i )8 =1,
?i
?i
Dos escalones x e y se dicen disjuntos, si sus soportes son disjuntos, es decir,

supp(x) n supp(y) = Ø.

Ellos se dicen estrictamente disjuntos, si sus soportes son disjuntos y existe
al menos un n´umero natural k entre los soportes de x e y, es decir, para
supp(x) = {i1,…,in},
supp(y) = {j1,…,jm}
i 8
con in < j1, existe un k ? N con in < k < j1.

Se dice que un escal´on x est´a contenido en el escal´on y, si se cumple
supp(x) ? supp(y).

Sea ahora x = (?i) =1 una sucesi´on de n´umeros reales de la forma
?i =
ak tk = i = tk+1
0 i = tn
(k = 1,…,n – 1)
(1.9)
con {t1,t2 …,tn} ? N y ak = ak+1 para k = 1,…,n – 1. Se de?ne entonces (ver
[20])
|[x]|p =
n
|ak|p
1
p
.
(1.10)
i 8
k=1

N´otese que el valor |[x]|p no constituye una norma, pues no cumple la desigualdad
triangular, como se puede comprobar f´acilmente con las sucesiones x = (1,0,…,0)
y y = (1,1,0,…,0).

Sin embargo, resulta obvio que toda sucesi´on ?nita x = (?i) =1 (a´un cuando no sea
suma de escalones estrictamente disjuntos) se representar en la forma (1.9) como
suma ?nita de sucesiones xj (j = 1,…,m), que son suma de escalones estrictamente
disjuntos. Para ello basta tomar la representaci´on
x = x1 + x2
(1)
i
(2)
i
tal que
(1)

(2)
=

=
ak t2k = i = t2k+1
0 en otro caso
ak t2k-1 = i = t2k
0 en otro caso
(2k + 1 = n)

(2k = n)
´
Sin embargo, esta representaci´on no es unica.

11

x
up=
inf
SD(x)
Se denota por SD(x) al conjunto de todas esas representaciones y se de?ne entonces
n
k=1
|[xk]|p,
(1.11)
x =
tomando el´in?mo sobre el conjunto SD(x) de todas las representaciones de x de la
forma
n
xk,
k=1
de manera que las sucesiones xk son a su vez sumas de escalones estrictamente dis-
juntos para toda k = 1,2,…,n.

Se cumple el siguiente teorema:

Teorema 1.6
El valor
x
up
es una norma en el espacio de todas las sucesiones ?nitas.
Si se denota ahora por up al completamiento del espacio de las sucesiones con soporte
?nito respecto a la norma
· up, se cumple:
Teorema 1.7
Si la sucesi´on ?nita x es suma de escalones estrictamente disjuntos, entonces
x
up=
|[x]|p.
1 q
p
El siguiente teorema presenta la relaci´on de este espacio con el espacio de las suce-
siones de p-variaci´on acotada (ver [20]).

Teorema 1.8
(0)
siones in?nitesimales de q-variaci´on acotada con p+ 1 = 1 respecto a la norma
· v(0), y la base can´onica de up es una base contrahente.

Tambi´en se cumple:

Teorema 1.9
(0)
(0)
De esta manera se ha obtenido la relaci´on directa para
1
p
+
1
q
=1
p = p =
(v(0))** ~ (uq)* ~ v(0).

12

1.2.
Las funciones de p-variaci´on acotada y abso-
lutamente p-continuas

En este ep´igrafe se presentan las de?niciones y los resultados conocidos sobre los
espacios Vp[a,b] de las funciones de p-variaci´on acotada y Cp[a,b] de las funciones
absolutamente p-continuas (ver [20]), los cuales constituyen un modo de generalizar
los espacios de sucesiones del ep´igrafe anterior.
1.2.1.
El espacio Vp[a,b] de las funciones de p variaci´on aco-
´
tada
Definicion 1.3
Una funci´on f de?nida sobre el intervalo cerrado [a,b] es de p-variaci´on
acotada (1 = p < 8) si el valor
Vp(f) = sup
p
n
i=1
|f(ti) – f(ti-1)|p
1
p
es ?nito, donde el supremo se toma sobre todas las particiones p = {ti}ni =0 de
[a,b]. El espacio Vp[a,b] de la funciones de p-variaci´on acotada con el valor
inicial f(a) = 0 es un espacio de Banach con la norma
· Vp= Vp(·).
Resulta sencillo comprobar que toda funci´on de p-variaci´on acotada en el intervalo
cerrado [a,b] es acotada en ese intervalo.
Los siguientes teoremas presentan algunas importantes propiedades de estos espacios
(ver [20]):

Teorema 1.10
Toda funci´on de p-variaci´on acotada en [a,b] es tambi´en de q-variaci´on acotada
para todo n´umero real q > p y tiene a lo sumo una cantidad numerable de
discontinuidades, todas evitables o no evitables de primera especie.

Teorema 1.11
El espacio Vp[a,b] no es separable y contiene un subespacio isomorfo a c0.
13

a- 2 cos(2panx)
1.2.2.
El espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-
´
continuas
Definicion 1.4
El m´odulo de p-continuidad (1 < p < 8) de una funci´on f de?nida en
[a,b] est´a de?nido por
?p(d)(f) = sup
pd
n
i=1
|f(ti) – f(ti-1)|p
1
p
,
f(x) =
donde el supremo se toma sobre todas las particiones pd : a = t0 < … < tn = b
del intervalo cerrado [a,b], para las que se cumple (ti – ti-1) < d para toda
1 = i = n.
Una funci´on f se dice absolutamente p-continua si se cumple

l´im?p(d)(f) = 0.
d?0

El espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas con el valor
inicial f(a) = 0 es un subespacio cerrado de Vp[a,b].
Un ejemplo interesante resulta la conocida funci´on de Weierstrass
8
n
x ? [0,1],
n=1
para un n´umero entero cualquiera a > 1, la cual es de 2-variaci´on acotada y absolu-
tamente p-continua para todo n´umero real p > 2.

Para las funciones absolutamente p-continuas se cumple (ver [20]):

Teorema 1.12
Toda funci´on absolutamente p-continua en [a,b] es continua en ese intervalo.
El rec´iproco no se cumple en general.
Teorema 1.13
Para toda funci´on f de p-variaci´on acotada sobre [a,b] se de?ne para todo x
del intervalo [a,b] la funci´on f(x) = Vp(f,a,x) como la p-variaci´on de f en el
intervalo [a,x] ? [a,b], la cual es mon´otona creciente. Si f es absolutamente
p-continua, entonces f tambi´en es absolutamente p-continua en [a,b].

Una funci´on f de?nida en el intervalo cerrado [a,b] se dice Lipschitz-continua del
orden a para 0 < a = 1, si para cualesquiera dos puntos x,y de [a,b] se cumple la
desigualdad
|f(x) – f(y)| = M|x – y|a,

con una constante M que s´olo depende de f.

14

1
1
Teorema 1.14
Toda funci´on Lipschitz-continua del orden a es de a-variaci´on acotada y ab-
solutamente p-continua en [a,b] para todo n´umero real p > a.

Teorema 1.15
El espacio Cp[a,b] es separable.

Teorema 1.16
La inmersi´on Idp de Cp[a,b] (p > 1) en el espacio C[a,b] de las funciones
continuas sobre [a,b] no es compacta.
1.2.3.
Estudios sobre el espacio dual de Cp[a,b]
´
sp(f,g) =
Las integrales de Riemann-Stieljes, cuya de?nici´on se presenta a continuaci´on, juegan
un importante papel en los teoremas de representaci´on de espacios de normados.

Definicion 1.5
Sean f,g dos funciones cualesquiera de?nidas sobre el intervalo cerrado [a,b].
Sea p : a = t0 < t1 < … < tn = b una partici´on cualquiera de [a,b] y sean los
puntos ?i ? [ti-1,ti] para 1 = i = n. Entonces el valor

n
f(?i)(g(ti) – g(ti-1))
I =
i=1

se llama suma de Riemann-Stieltjes de f respecto a g y p.
Se dice que la funci´on f es Riemann-Stieltjes integrable respecto a g
en [a,b], si existe un n´umero real I, tal que, para todo e > 0 existe un n´umero
real de > 0 con

|sp(f,g) – I| <

para cualquier partici´on p de norma menor que de y cualquier selecci´on de los
puntos intermedios ?i. En ese caso, el n´umero real I se llama integral de
Riemann-Stieltjes de f respecto a g en [a,b] y se denota por

b
f(x)dg(x).
a

En [20] se presentan ciertas desigualdes de tipo H¨older, a partir de las cuales se
deduce el siguiente teorema.
15

21+ q
1 q
Teorema 1.17
Para dos funciones f,g de p-variaci´on acotada y q-variaci´on acotada respecti-
vamente en [a,b] con p + 1 > 1 y para una partici´on cualquiera p de [a,b] se
cumple la acotaci´on
|sp(f,g)| =
1+ ?
1
p
+
1
q
Vp(f)Vq(g),
donde sp(f,g) es la suma de Riemann-Stieltjes de f respecto a g y p y
?(t) =
8

n=1
1
nt
F(f) =
es la funci´on Zeta de Riemann.

A partir de esta acotaci´on, en [20] se presenta adem´as la relaci´on de dualidad:

Teorema 1.18
Toda funcional lineal continua F sobre Cp[a,b] para 1 < p < 8 se puede
representar a trav´es de una integral de Riemann-Stieltjes de la forma

b
a
f(x)dg(x),
1
p
+
1
q
= 1 y se
donde g es una funci´on de q-variaci´on acotada en [a,b] con
cumple
g
Vq=
1
F
.
1 q
Rec´iprocamente, si f es una funci´on absolutamente p-continua y g es una
funci´on de q-variaci´on acotada en [a,b] con p+1 > 1, entonces existe la integral
de Riemann-Stieltjes de f respecto a g en [a,b] y se cumple la acotaci´on
b
a
f(x)dg(x) =
1+ ?
1
p
+
1
q
Vp(f)Vq(g),
donde ?(t) es la funci´on Zeta de Riemann.

Sin embargo, el espacio dual del espacio Cp[a,b] no puede ser identi?cado con Vq[a,b],
lo cual se comprueba f´acilmente a partir de sue relaciones con c0 y l1 respectivamente.

En un intento por responder a la pregunta sobre la existencia de un espacio de
Banach, cuyo espacio dual sea isomorfo al espacio Vp[a,b] de las funciones de p-
variaci´on acotada en el intervalo cerrado [a,b], y en analog´ia al caso de los espacios

16

1 q
vp de las sucesiones de p-variaci´on acotada (ver [20]), R.Rold´an de?ne (generalizando
la idea del espacio up) el espacio Ip[a,b] como completamiento de las funciones
escalonadas de?nidas en [a,b] con una norma adecuada que denota por . Ip. En el
trabajo citado se estudian las propiedades de este espacio, como su separabilidad
y, a pesar de no obtener tampoco por esta v´ia la deseada relaci´on de dualidad, se
demuestra el siguiente importante resultado:

Teorema 1.19
El dual de ILp[a,b] es isomorfo al espacio Vq[a,b] de las funciones q-variaci´on
acotada con p + 1 = 1.
17

Cap´itulo 2

Un espacio de funciones de Tipo
James
2.1.
De?niciones y propiedades preliminares
En cap´itulo 1 han sido presentadas las principales propiedades del espacio de
James como espacio no re?exivo de codimensi´on 1 y su generalizaci´on a los espa-
cios de sucesiones y de funciones de p-variaci´on acotada. Sin embargo, se observa
que la interpretaci´on de los espacios de funciones de p-variaci´on acotada como gene-
ralizaci´on de los correpondientes espacios de sucesiones no permite prolongar las
propiedades de dualidad. Otra forma de generalizar dichos espacios lo constituyen
el espacio JT “James tree” y espacio JF de las funciones de James que aparecen
en los trabajos de Lindenstrauss y Stegall (ver [13]), como ejemplos de espacios de
funciones de Banach separables no re?exivos, que contienen una copia de c0, mien-
tras su dual no contiene a l1.

Conviene comentar la de?nici´on de estos autores. Para Lindenstrauss y Stegall el
espacio de funciones de tipo James se considera como el completamiento de la c´apsula
lineal de las funciones caracter´isticas de subintervalos de [0,1] con respecto a la
“norma”
f = sup
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
2
1
2
.
(2.1)
Sin embargo, una sencilla comprobaci´on permite veri?car que la expresi´on anterior
no constituye una norma en la c´apsula lineal de las funciones caracter´isticas de
subintervalos de [0,1], pues para la funci´on no nula
Ia(x) =
1 x = a
0 x = a
se obtiene f = 0.
19

´
f(x) =
En este trabajo se pretende de?nir con rigor un nuevo espacio de funciones que
generalice al espacio de sucesiones de James y estudiar sus propiedades. Para ello
se toma como punto de partida al espacio Ip[a,b] de las funciones indicadoras de
intervalos [a,b], que se de?ne de la manera siguiente:

Definicion 2.1
Se denota por Ip[a,b] a la c´apsula lineal de las funciones indicadoras de subin-
tervalos de [a,b]; es decir, si c,d denota a un subintervalo de cualquier tipo
de [a,b] (aceptando c,c = {c}) y ? c,d denota a la funci´on indicadora de
c,d , entonces

Ip[a,b] = span{? c,d ; c,d ? [a,b]}.

Resulta f´acil comprobar que cualquier funci´on f de Ip[a,b] se puede escribir de la
forma
n
ak?Ik
(ak ? R),
(2.2)
´
k=1

donde (Ik)nk=1 es una partici´on de intervalo [a,b] (es decir, (Ik)nk=1 es un sistema de
intervalos disjuntos dos a dos, cuya uni´on es todo el intervalo [a,b]). Esta repre-
sentaci´on no es unica, pero si se considera adem´as que los Ik est´an ordenados de
izquierda a derecha y la condici´on ak = ak+1 para todo k = 1,…,n, se logra la
unicidad deseada. Esta forma de escribir la funci´on f ? Ip[a,b] se denomina re-
presentaci´on can´onica de f, siendo los ak sus coe?cientes y n el orden de la
representaci´on.

Una representaci´on can´onica de la forma (2.2) se dice alternada si los coe?cientes
forman una sucesi´on de n´umeros reales de signos alternos, es decir, si akak+1 < 0
para todo k = 1,…,n.

A continuaci´on se estudia la expresi´on (2.1) para algunos tipos de funciones del
espacio Ip[a,b]. Para ello se considera una funci´on
· p : Ip[a,b] ? R tal que
f
p
= sup
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
donde a = t0 < t1 < … < tn = b es una partici´on cualquiera de intervalo [a,b].
Entonces se tienen los siguientes resultados.
20

f(x) =
Teorema 2.1
Sea f ? Ip[a,b] una funci´on de signo constante con la representaci´on can´onica

n
ak?Ik
(ak = 0 ´o ak = 0,
?k = 1,…,n – 1),
k=1

entonces se cumple que
f
p
=
n
|ak|?(Ik),
k=1

donde ?(Ik) representa la longitud del intervalo Ik.

Demostraci´on:
Sea p : a = t0 < t1… < tm = b una partici´on cualquiera de [a,b] y sea Ji = [ti,ti+1]
para i = 0,…,m – 1. Entonces se tiene
m-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
=
m-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt .
Si f es no negativa, es decir, ak = 0 para todo k = 1,…,n-1, entonces se cumple
m-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
=
m-1
i=0
ti+1
ti
n
k=1
ak?(Ik)dt =
m-1
n
i=0 k=1
ak?(Ik n Ji)
=
n
m-1
k=1 i=0
ak?(Ik n Ji) =
n
k=1
ak
m-1
i=0
?(Ik n Ji)
=
n
k=1
ak?(Ik) =
n
k=1
|ak|?(Ik).
f
p
= – f
p
=
Por otra parte, si f es no positiva, es decir, ak = 0 para todo k = 1,…,n – 1,
resulta sencillo comprobar que

n
k=1
|ak|?(Ik),
quedando as´i demostrado el teorema.
Q.e.d
En el caso particular en que la representaci´on can´onica de la funci´on f ? Ip[a,b] es
alternada se tiene la relaci´on siguiente:
21

f =
Teorema 2.2
Sea f ? Ip[a,b] con la representaci´on can´onica

n
ak?Ik,
k=1

tal que akak+1 = 0 para todo k = 1,…,n – 1. Entonces se cumple que
f
p
=
n
(|ak|?(Ik))p
1
p
,
(2.3)
k=1

donde ?(Ik) representa la longitud del intervalo Ik.

Demostraci´on: (Por inducci´on).

En el caso n = 2 se tiene que f = a1?I1 + a2?I2, donde a1a2 = 0, I1 n I2 = Ø
y I1 ? I2 = [a,b].
Sea p : a = t0 < t1 < … < tm = b una partici´on cualquiera del intervalo
[a,b] y sea c ? [a,b], tal que a,c = I1, entonces c tiene que estar en alg´un
subintervalo de la partici´on p de [a,b]. Sea k tal que c ? (tk,tk+1), entonces es
tk+1
f(t)dt
p
=
c
tk
p
f(t)dt +
tk+1
c
p
f(t)dt .
tk
Luego, se tiene
m-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
=
k-1
i=0
ti+1
ti
p
f(t)dt +
tk+1
tk
p
f(t)dt +
m-1
i=k+1
ti+1
ti
f(t)dt
p
=
k-1
i=0
ti+1
ti
p
f(t)dt +
c
tk
p
f(t)dt +
tk+1
c
p
f(t)dt +
n-1
i=k+1
ti+1
ti
p
f(t)dt .
Pero, como f tiene signo constante en el subintervalo I1, se cumple
k-1
i=0
ti+1
ti
p
f(t)dt +
c
tk
f(t)dt
p
=
k-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt +
c
tk
f(t)dt
p
=
c
f(t)dt
p
= (|a1|?(I1))p.
a
De modo an´alogo se obtiene para el subintervalo I2
tk+1
c
p
f(t)dt +
n-1
i=k+1
ti+1
ti
f(t)dt
p
=
b
c
f(t)dt
p
= (|a2|?(I2))p.
22

= ((|a1|?(I1))p + (|a2|?(I2))p) p ,
+|ak(sk+1 – tl)| +
|ai?(Ii)| + |ak(sk+1 – sk)| +
Entonces es
sup
p
m-1

i=0
ti+1

ti
f(t)dt
p
1
p
1
por lo que el teorema es v´alido para n = 2

Ahora si (2.3) es cierta para todo orden m = n-1 con n-1 = 2, entonces se
debe demostrar que (2.3) es tambi´en v´alida para una representaci´on de orden
n
k = 1,…,n – 1 y sea p : a = t0 < t1 < … < tm = b una partici´on de [a,b].
Est´a claro que siempre existe tl tal que tl ? sk-1,sk para alg´un k. Si se
particiona el intervalo [a,b] en los dos subintervalos [a,tl] y (tl,b], entonces
en cada subintervalo la funci´on f tiene ahora una representaci´on can´onica
alternada de orden menor que n. Al aplicar la hip´otesis de induci´on para f en
cada subintervalo [a,tl] y (tl,b] se obtiene que
m-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
=
l-1
i=0
ti+1
ti
p
f(t)dt +
m-1
i=l
ti+1
ti
f(t)dt
p
=
k-1
i=1
|ai?(Ii)|p + |ak(tl – sk)|p
p
n
i=k
|ai?(Ii)|p
=
k-1
p p
n
i=k
|ai?(Ii)|p
=
i=1
n
|ai?(Ii)|p
i=1

Con esta desigualdad queda demostrado el teorema.
Q.e.d
Ya se ha comprobado que la expresi´on (2.1) no constituye una norma de este espacio.
Por tanto, se debe buscar otra norma o una manera de construir una norma parecida
a la expresi´on (2.1). Para ello se considera (de manera an´aloga a los espacios Lp[a,b])
una relaci´on de equivalencia en Ip[a,b], la cual est´a dada por
f ~ g
?
sup
p
n-1

i=0
ti+1

ti
(f(t) – g(t))dt
p
1
p
= 0,
23

donde el supremo se toma sobre el conjunto de todas particiones de [a,b] de la forma
p : a = t0 < t2 < … < tn = b .

Est´a claro que “~” es una relaci´on re?exiva y sim´etrica. Luego, para justi?car que
“~” es una relaci´on de equivalencia basta demostrar que es transitiva. Para ello sean
f,g,h ? Ip[a,b], tales que f ~ g y g ~ h. Por la desigualdad de Minkowski es
n-1
i=0
ti+1
ti
(f(t) – h(t))dt
p
1
p
=
n-1
i=0
ti+1
ti
(f(t) – g(t) + g(t) – h(t))dt
p
1
p
=
n-1
i=0
ti+1
ti
(f(t) – g(t))dt
p
1
p
+
n-1
i=0
ti+1
ti
(g(t) – h(t))dt
p
1
p
,
´
por lo que f ~ h, siendo as´i “~” una relaci´on de equivalencia en Ip[a,b].

A partir de esto, tiene sentido de considerar el espacio cociente Ip[a,b]/ ~, el cual
se denota por JFp[a,b].

N´otese que si dos funciones f,g ? Ip[a,b] pertenecen a una misma clase de equi-
valencia de JFp[a,b], ellas son iguales casi donde quiera. Ello permite identi?car al
espacio JFp[a,b] como espacio de funciones, al identi?car a cada clase de equivalencia
con uno cualquiera de sus representantes. Igualmente, resulta sencillo comprobar que
el valor de la expresi´on (2.1) se mantiene constante dentro de cada clase. Entonces
se de?ne:

Definicion 2.2
Se llama p-variaci´on integral de f ? JFp[a,b] a la funci´on
·
p
: JFp[a,b] ? R,
de?nida por
f
p
= sup
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
,
(2.4)
siendo f un representante de la clase f.

A partir de lo anteriormente mencionado y para simpli?car la notaci´on, se denotar´a a
partir de ahora a f p por f p. Respecto al espacio JFp[a,b] se cumple el siguiente
teorema.

Teorema 2.3
El espacio JFp[a,b] es un espacio normado respecto de la norma (2.4), pero
no es de Banach.

24

x ? 0, 12
?
x ? 2n+1, 2n 2+1
2k-1
k
´o x ? 22n+1 -1,1
0
2
2
+ n+3 + … + n+r+2
1
Demostraci´on:
Es obvio que para comprobar que (2.4) es una norma, s´olo resta demostrar la de-
sigualdad triangular, la cual se deduce directamente de la desigualdad de Minkowski,
pues para todos f,g ? JFp[a,b] se tiene
n-1
i=0
ti+1
ti
(f + g)(t)dt
p
1
p
=
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt +
ti+1
ti
g(t)dt
p
1
p
=
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
+
n-1
i=0
ti+1
ti
g(t)dt
p
1
p
Para la segunda a?rmaci´on se considera por simpli?car al intervalo [0,1] y se cons-
truyen las funciones fn(x)(n = 1,2,3,…) seg´un el siguiente esquema:
1
2
1 x ? 12,1
f1(x) =
…
fn(x) =
x ?
k-1
2n
k
k
2n
1
n
, 2n ,(kn= 1,…,2n – 1)
x ? 22-1,1
.
Est´a claro que esas funciones pertenecen al espacio JFp[0,1] y fn+r(x) = fn(x) para
todo x ? [0,1]. En particular, para r = 1 es
(fn – fn+1)(x) =
k- k-
?
? 2n+1 x ? 2(n+1 1), 2n+1 , (k = 1,…,2n+1 – 1)
n+1
,
por lo que la funci´on fn – fn+1 toma s´olo los valores cero y 2n+1, y alcanza esos
valores 2n veces en intervalos de longitud 2n+1. Entonces aplicando el teorema (2.1)
para calcular la p-variaci´on integral de fn – fn+1 se cumple
fn – fn+1
p
= 2n
1
2n+1
1
2n+1
=
1
2n+2
.
Aplicando ahora la desigualdad triangular para r ? N se obtiene
fn – fn+r
p
=
fn – fn+1 p + fn+1 – fn+2
p
+ … + fn+r-1 – fn+r
p
=

=
1
n+2
1
n+2
2 2
r

k=0
1 1

2k
.
25

Pero la suma en el miembro derecho de esta expresi´on representa la suma parcial
de orden r de una serie geom´etrica de raz´on 12, por lo que puede ser acotada por el
valor 2, entonces
fn – fn+r
p
=
2
2n+2
=
1
2n+1
.
1
2e
tal que para
De ese modo, para todo e > 0 existe un n´umero natural N > log2
todo n = N se cumple
fn – fn+r
p
< e,
siendo as´i la sucesi´on {fm} de Cauchy en JFp[0,1].

Por otra parte, resulta obvia la convergencia puntual de la sucesi´on {fn} a la funci´on
f(x) = x en [0,1], la cual no pertenece a JFp[0,1], por no ser combinaci´on lineal de
funciones indicadoras en ese intervalo. Con esto de observa que JFp[0,1] no es un
espacio de Banach.
Q.e.d
2.2.
El espacio JFp[a,b] de Tipo James
´
´
El ultimo teorema conduce a la necesidad de de?nir el espacio de funciones de Tipo
James del siguiente modo:

Definicion 2.3
Se de?ne el espacio de funciones de tipo James como el completamiento del
espacio JFp[a,b] respecto la norma (2.4) y se denota por JFp[a,b]. Es decir,
JFp[a,b] es el espacio de las clases de equivalencia f de sucesiones de Cauchy
{fn} de JFp[a,b], dadas por la relaci´on
{fn} ~ {?n}
?
fn – ?n
p
? 0,
con la norma
f
p
= l´im fn p,
siendo {fn} un representante de la clase f.

Primeramente resulta importante observar que si f ? JFp[a,b], entonces f ? L1[a,b],
lo cual se comprueba f´acilmente, considerando en (2.4) la partici´on can´onica p : a < b
de [a,b], lo que implica la integrabilidad de |f| en [a,b]. Se debe hacer notar que
esto no implica necesariamente que se cumpla que f L1 = f p.

26

> JVp p(f;c,b) + .
Por otra parte, si f ? L1[a,b] y p : a = t0 < t1 < … < tm = b es una partici´on
cualquiera de [a,b], se tiene que
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
n-1
i=0
ti+1
ti
|f(t)|dt
=
b
a
|f(t)|dt = f
L1,
o sea f
p
f
L1.
.
M´as adelante se comprobar´a que los espacios JFp[a,b] y L1[a,b] no son iguales.

Si se denota por JVp(f;a,ß) a la p-variaci´on integral de la funci´on f en el
intervalo [a,ß], entonces se cumple:

Teorema 2.4
Sea f ? JFp[a,b], c ? (a,b) y ?p > 1. Se cumple la acotaci´on

1

Adem´as si p ? N entonces se tiene tambi´en la relaci´on

1

Demostraci´on:
(i) Por la de?nici´on de JVp(f), para cada
> 0 existen particiones
p : a = t0 < t1 < … < tm = c y p : c = t0 < t1 < … < ts = b

de [a,c] y [a,b] respectivamente, tales que
m-1

i=0
ti+1

ti
f(t)dt
p
> JVp p(f;a,c) +
2
s-1

i=0
ti+1

ti
f(t)dt
p
2
Si se unen estas particiones se obtiene una nueva partici´on

p : a = t0 < t1 < … < tn = b

27

|a + b| = (|a| + |b|)
= |a| + |b| +
= (|a| + |b| ) 1 +
de [a,b], para la cual se cumple
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
=
m-1
i=0
ti+1
ti
p
f(t)dt +
s-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
> JVp p(f;a,c) + JVp p(f;c,b) – .
Pero esto es v´alido para cualquier
> 0, por lo que
1

de donde se deduce la primera parte del teorema.

(ii) Sea ahora p : a = t0 < t1 < … < tn = b una partici´on del intervalo [a,b] que
contiene al punto c = tk. Entonces
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
=
k-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
+
n-1
i=k
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
o sea,
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
= (JVp(f;a,c) + JVp(f;c,b)).
(2.5)
Sea ahora p : a = t0 < t1 < … < tn = b una partici´on cualquiera de [a,b].
Entonces existe un n´umero natural 0 < k = n, tal que tk-1 = c = tk.
N´otese primeramente que de la monoton´ia de la funci´on exponencial se deduce
que si 1 = k = p – 1, entonces para todo par de n´umeros reales a,b es

|a|k|b|p-k = |a|p + |b|p.

Para comprobar esta desigual basta reescribirla en la forma
a
b
k
– 1 =
a p
b
.
De esto se deduce que
p p
p p
p-1

k=1
p
k
|a|k|b|p-k
p p
p-1

k=1
p
k
28

= (2 – 1)
= (2p – 1)p(JVp(f;a,c) + JVp(f;c,b)),
p
k
= 2p – 2,
Pero por el teorema binomial es
p-1

k=1
de donde
|a + b|p = (|a| + |b|)p = (2p – 1)(|a|p + |b|p).

Entonces para tk-1 = c = tk se cumple
ti+1
ti
f(t)dt
p
=
c
f(t)dt +
ti+1
f(t)dt
p
ti
p
c
ti
c
p
f(t)dt +
ti+1
c
f(t)dt
p
.
Luego, si se denota a la suma correspondiente a la partici´on p de [a,b] por Sp
y por S a la suma correspondiente a la partici´on p ? {c}, es decir
Sp =
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
S =
n-1
i=0,i=k
ti+1
ti
p
f(t)dt +
c
tk
p
f(t)dt +
tk+1
c
f(t)dt
p
1
p
,
se cumple
Sp = (2p – 1)S.

Aplicando ahora la acotaci´on (2.5) se obtiene
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
1
con ello queda demostrado el teorema.
Q.e.d
Partiendo de la primera parte del teorema anterior, es f´acil demostrar por inducci´on
la relaci´on
n-1
JVp p(f;ti,ti+1)
1
p
= JVp(f;a,b),
(2.6)
i=0
donde p : a = t0 < t1 < … < tn = b es una partici´on cualquiera de [a,b]. Entonces
se cumple el siguiente teorema.

29

Teorema 2.5
Sean p,q > 1 con
1
p
+
1
q
= 1 dados. Entonces se cumple la desigualdad
n-1
JVp(f;ti,ti+1)JVq(g;ti,ti+1) = JVp(f;a,b)JVq(g;a,b)
i=0

para toda partici´on de p : a = t0 < t1 < … < tn = b de [a,b] y para dos
funciones cualesquiera f ? JFp[a,b] y g ? JFq[a,b]

Demostraci´on:
La esencia de este teorema se deduce de la desigualdad (2.6) y la desigualdad de
H¨older, pues
n-1
0
JVp(f;ti,ti+1)JVq(g;ti,ti+1) =
n-1
i=0
JVp p(f;ti,ti+1)
1
p
n-1
i=0
JVqq(g;ti,ti+1)
1
q
.
Entonces por (2.6) se tiene

n-1
JVp(f;ti,ti+1)JVq(g;ti,ti+1) = JVp(f;a,b)JVq(g;a,b)
i=0
Q.e.d

La siguiente es una importante propiedad que se extiende a estos espacios desde los
conocidos espacios de funciones de variaci´on acotada.

Teorema 2.6
Si f ? JFp[a,b], x ? [a,b], entonces la funci´on JVp p(f;a,x) es mon´otona
creciente en [a,b].

Demostraci´on:
Sean x1 y x2 puntos cualesquiera de [a,b] con x1 < x2. Por el teorema 2.3 es
1

o sea,
JVp p(f;a,x2) = JVp p(f;a,x1),
con lo cual queda demostrado el teorema.
Q.e.d
Una relaci´on entre los espacios JFp[a,b] est´a dada por el teorema siguiente.

Teorema 2.7
Para 1 = p < 8, cada elemento de JFp[a,b] es tambi´en elemento de JFq[a,b]
para todo n´umero real q > p.

30

Demostraci´on:
Sea la funci´on f de JFp[a,b] dada y sea
M = sup
x,y?[a,b]
y
x
f(t)dt .
Entonces es
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
q
1
q
=
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
ti+1
ti
f(t)dt
q-p
1
q
para toda partici´on p : a = t0 < t1 < … < tn = b de [a,b], o sea,
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
q
1
q
= (Mq-p)
1
q
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
.
De aqu´i se deduce entonces
f
q
= M f
p
< 8,
siendo
M = M
q-p
q
,
y por tanto f pertenece tambi´en a JFq[a,b].
Esta condici´on se extiende sin di?cultad al espacio JFp[a,b], quedando as´idemostra-
do el teorema.
Q.e.d
´
En este punto conviene de?nir un subespacio de Vp[a,b] (funciones de p-variaci´on
acotada) que tiene mucha relaci´on con el estudio de espacio de las funciones de Tipo
James.

Definicion 2.4
Se denota por LCVp[a,b] al subespacio de Vp[a,b] de las funciones continuas
lineales a trozos y por LCVp[a,b] a su completamiento respecto la norma de
p-variaci´on, es decir, respecto a la norma de Vp[a,b]
g
Vp
= sup
p
n
k=1
|g(ti) – g(ti-1)|p
1
p
,
donde el supremo se toma sobre todas las particiones p : {ti}ni =0 de [a,b].

Una relaci´on entre estos espacios se muestra en el siguiente teorema, que juega un
papel importante en este trabajo.

31

t?t-
t?t+
F(f)(t) = g(t) ?f ? JFp[a,b] con g(t) =
Teorema 2.8
El espacio JFp[a,b] es isom´etricamente isomorfo al espacio LCVp[a,b].

Demostraci´on:
Para demostrarlo se considera la funci´on F : JFp[a,b] ? LCVp[a,b] tal que
t
f(u)du.
f(t) =
a
Para comprobar que g(t) ? LCVp[a,b], sea f ? JFp[a,b] con la representaci´on
can´onica
n
ai?(ti-1,ti)
i=1
con a = t0 < t1 < … < tn = b (se puede considerar que f se anula en los extremos
de los intervalos (ti-1,ti), pues ello no in?uye en el c´alculo de su norma en JFp[a,b]).
Entonces para k ?jo, tal que t ? (tk,tk+1), se cumple
g(t) =
t
a
f(u)du =
k
i=1
ai(ti – ti-1) + ak+1(t – tk),
lo que implica la linealidad de g y su continuidad en todo t = ti para todo i =
1,…,n. La continuidad de g en t = ti para i = 1,…,n se comprueba a partir de
la coincidencia de los l´imites laterales
k-1
k
i=1
ai(ti – ti-1)
l´im g(t) =
k

l´im g(t) =
k
i=1
k

i=1
ai(ti – ti-1) + ak(tk – tk-1) =

ai(ti – ti-1).
Sea ahora f ? JFp[a,b] cualquiera, entonces
f
p
= sup
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
p
1
p
= sup
n-1
i=0
|g(ti+1) – g(ti))|p
1
p
= F(f)
Vp,
por lo que F es una isometr´ia de JFp[a,b] en LCVp[a,b].

Por la linealidad de la integral, es obvio que F tambi´en es una funci´on lineal de
dichos espacios.

Para demostrar la inyectividad de F, sean f1,f2 en JFp[a,b] tales que

F(f1) = F(f2) = g(t) ? LCVp[a,b].

32

Entonces se cumple que

t
(f1(u) – f2(u))du = 0,
a
lo que implica que f1 ~ f2, es decir, que F es inyectiva.

Para comprobar la sobreyectividad n´otese que toda g ? LCVp[a,b] tiene la forma
g(a) = 0 y

g(a) = 0,
g(x) = aix + bi
para x ? (ti-1,ti] (i = 1,…,n)
donde p : a = t0 < t1 < … < tn = b es una partici´on de [a,b]. Adem´as, por la
continuidad de g, los coe?cientes (ai)ni =1, (bi)ni =1 tienen que satisfacer las condiciones
a1a + b1 = 0;
aiti + bi = ai+1ti + bi+1
(i = 1,…,n),
o sea
a1a + b1 = 0;
bi+1 – bi = aiti – ai+1ti
(i = 1,…,n).
(2.7)
bk+1 – b1 =
Sumando en (2.7) desde i = 1 hasta i = k se tiene

k
(aiti – ai+1ti).
(2.8)
i=1

Construyendo ahora la funci´on f(x) = ai para x ? (ti-1,ti] y f(a) = 0, es decir,
n
t
a
f(u)du =
t
n
a k=1
ak?Ikdu =
i-1
k=1
ak?Ikdu +
t
ti-1
ai?Iidu
=
i-1
(aktk – aktk-1) + ait – aiti-1
=
k=1
i-1
aktk –
i
k=1
aktk-1 + ait
=
k=1
i-1
(aktk – ak+1tk) – a1a + ait
(2.9)
(2.10)
k=1

De (2.7),(2.8)y(2.9) tenemos que

t
f(u)du = bi – b1 – a1a + aix = bi + ait
a

33

n
n
´ n
n
con lo que se demuestra la sobreyectividad de F y, por tanto, la isometr´ia entre
JFp[a,b] y LCVp[a,b].

Ahora, para cualquier f ? JFp[a,b], sea (fn)8 =1 una sucesi´on de Cauchy de funciones
de JFp[a,b] en la norma · p, tal que (fn)8 =1 ? f. Como fn ? JFp[a,b] para todo
n, entonces por lo anteriormente demostrado va a existir una unica sucesi´on (gn)8 =1
de funciones de LCVp[a,b] tales que F(fn) = gn. Para comprobar que la sucesi´on
(gn)8 =1 es de Cauchy en LCVp[a,b], dado e > 0 sea N > 0 tal que fn – fm p < e
para todos n,m = N. Esto es equivalente a
sup
p
k-1

i=0
ti+1

ti
(fn – fm)(u)du
p
<
p
?
sup
p
k-1

i=0
ti+1

ti
fn(u)du –
ti+1

ti
fm(u)du
p
<
p
.
sup
p
Sustituyendo por la expresi´on de g se tiene

k-1
i=0
|(gn(ti+1) – gn(ti)) – (gm(ti+1) – gm(ti))|p <
p
?
sup
p
k-1
i=0
|(gn – gm)(ti+1) – (gn – gm)(ti)|p <
p
,
de donde se deduce que
gn – gm
Vp
<
n
´
para todos n,m = N. Con esto se demuestra que la sucesi´on (gn)8 =1 es de Cauchy
en LCVp[a,b], por lo que corresponde a una clase g ? LCVp[a,b].

El mismo proceso en sentido inverso muestra que a cada elemento g0 ? LCVp[a,b]
corresponde un unico elemento f ? JFp[a,b], lo que demuestra el teorema.
Q.e.d

Resulta sencillo comprobar que el sistema de las funciones indicadoras de subinter-
valos de [a,b] de extremos racionales es un conjunto numerable siempre denso en
JFp[a,b]. De ello se deduce el siguiente teorema:

Teorema 2.9
El espacio JFp[a,b] es separable.

Sin embargo, el siguiente teorema muestra que esta propiedad no se extiende al
espacio dual correspondiente.

34

? c,d (f) =
Teorema 2.10
El espacio dual de JFp[a,b] no es separable.
Demostraci´on:
Sea M un conjunto siempre denso en (JFp[a,b])*. A continuaci´on se demuestra que
M no es numerable. Para ello se consideran las funciones ? c,d : JFp[a,b] ? R tales
que
d
f(t)dt donde
c,d ? [a,b] c = d.
1
c
Est´a claro que ? c,d (JFp[a,b])* = 1 por de?nici´on de . p. Particularmente para las
funciones f = d-c? c,d se tiene f p = 1 y |? c,d (f)| = 1. Por lo tanto
? c,d
(JFp[a,b])*
= 1;
? c,d ? [a,d].
Sean ahora dos funciones ?[a,t] y ?[a,s] cualesquiera con s < t. Como que M es denso
en (JFp[a,b])*, entonces existen F1;F2 ? M tales que
?[a,t] – F1 (JFp[a,b])* <
1
4
y
?[a,s] – F2
(JFp
[a,b])*
<
1
4
Por otra parte que es
?[a,t] – ?[a,s]
(JFp[a,b])*
= ?[s,t]
(JFp[a,b])*
=1
Aplicando la desigualdad triangular se obtiene
?[a,t] – ?[a,s]
(JFp[a,b])*
= ?[a,t] – F1 + F1 – F2 + F2 – ?[a,s] (JFp[a,b])*
= ?[a,t] – F1
(JFp[a,b])*
+ F1 – F2
(JFp[a,b])*
+ F2 – ?[a,s]
(JFp[a,b])*
,
de donde se deduce la desigualdad
F1 – F2
(JFp[a,b])*
>
1
2
Esto muestra la existencia en el conjunto M de al menos tantos elementos como
las funciones de tipo ?[a,t] con t ? (a,b], lo cual implica la no numerabilidad del
conjunto M.
Q.e.d
N´otese que este teorema implica que los espacios JFp[a,b] y L1[a,b] son diferentes,
*
pues en caso contrario JFp[a,b] tendr´ia que ser separable.

Las siguientes propiedades muestran la relaci´on del espacio JFp[a,b] con los conoci-
dos espacios de sucesiones c0 y l1.
Teorema 2.11
El espacio JFp[a,b] contiene un subespacio isomorfo a c0.
En ([13]) se demostr´o un caso particular s´olo para el caso p = 2, aqu´i se presenta
una demostraci´on m´as general y sencilla para 1 < p < 8. Para ello resulta necesario
introducir primeramente los siguientes resultados (ver[20]):

35

´
n
sup
n
Definicion 2.5
Sea B un espacio de Banach cualquiera. Una serie in?nita

8
xn
n=1

con xn ? B (n = 1,2,…), se dice incondicionalmente convergente d´ebil,
si para toda funcional f del espacio dual B* de B es ?nita la suma

8
|f(xn)|.
n=1

Lema 2.1 BESSAGA/PELCZYNSKI
Sea B un espacio de Banach cualquiera. Una serie in?nita

8
xn
n=1

de elementos xn (n = 1,2,…) de B es incondicionalmente convergente d´ebil,
si y s´olo si existe una constante real positiva C, tal que para toda sucesi´on
(an)8 =1 ? l8 se cumple la acotaci´on

8
n=1
akxk
= C sup|an|.
n
i 8 8
i 8 8
Sean B1 y B2 espacios de Banach cualesquiera con bases (xi) =1 y (yi)i=1 respecti-
vamente. Decimos que (xi) =1 y (yi)i=1 son equivalentes, si la convergencia de la
serie
8
anxn
n=1

es equivalente a la convergencia de la serie

8
anyn;
n=1

es decir, si existe un isomor?smo de B1 sobre B2 que a cada elemento xn asigna el
elemento yn.

36

-2 x ? 12,1
? 4 x ? 0, 14
-4 x ? 14, 12
? 4 x ? 2, 34
-4 x ? 34,1
(-1)k2n n
= 2 p
n
Corolario 2.1
Dada la sucesi´on (xn)8 =1 del espacio de Banach B, sea la serie in?nita
8
xn
n=1

incondicionalmente convergente d´ebil, y supongamos adem´as que
inf
n
xn > 0.
n
n
Entonces (xn)8 =1 es equivalente a la base can´onica de c0.
A continuaci´on se presenta la demostraci´on del teorema.

Demostraci´on: (del teorema 2.11)

El principio de esta demostraci´on consiste en presentar una sucesi´on (fn)8 =1 de
elementos de JFp que cumple la condici´on infn
fn > 0 y cuya serie in?nita es
incondionalmente convergente d´ebil, de modo que del corolario anterior se deduce
la tesis del teorema.
(i) Para simpli?car la demostraci´on se consideran las funciones de p-variaci´on
integral acotada sobre el intervalo cerrado [0,1].
Se construyen las funciones gn(x) (n = 1,2,…) seg´un el siguiente esquema:
1
2 x ? 0, 2
?
?

?
g1(x) =

g2(x) =

…
gn(x) =
1
2n
(-1)k2n x ?
k
2n
, k+1
2n
x ? 0, 2n
(k = 1,…,2n – 1)
i
gn =
Para toda n ? N la funci´on gn(x) es obviamente elemento de JFp. Adem´as si
se denota por si = 2n para i = 0,…,2n y Ji = (si-1,si], (i > 1), J1 = [0,s1],
entonces gn tiene la representaci´on can´onica alternada
2n
(-1)k2n?Jk+1.
(2.11)
k=0
Por tanto, del teorema (2.2) se deduce que
gn
p
=
2n-1

k=0
1
2
p
1
p
n
(2.12)
37

Si ahora se considera fn = 2- pgn, de (2.12) resulta que fn
an2- pgn
x 2 -1
n
p
= 1, entonces
inf fn
n
p
= fn
p
= 1.
(2.13)
n
n
(ii) Sea ahora (an)8 =1 una sucesi´on acotada cualquiera de n´umeros reales, es decir
(an)8 =1 ? l8. Se busca una cota superior para el valor
k
n=1
anfn
p
=
k
n=1
n
p
(2.14)
x
0
gn(u)du. Aplicando la f´ormula
Primeramente conviene calcular Gn(x) =
(2.8, 2.9) con x ? (sk,sk+1] = Jk se obtiene
Gn(x) =
x
0
gn(u)du =
0
n

i=0
(-1)i2n?Ji+1du
=
k-1

i=1
(-1)i-12n
1
2i
+
x

sk
(-1)k2n?Jkdu,
k 2n
de donde para x ? [2n, k+1] se tiene (ver ?gura 2.1)
Gn(x) =
l l n
l n l
2nx – 2l para k = 2l;x ? [2n, 22+1]
-2nx + 2l para k = 2l – 1;x ? [22-1, 2n]
.
(2.15)
Figura 2.1:
38

-np
2- p(Gn(ti) – Gn(ti-1)) = S1 + S2
2- p(Gn(ti) – Gn(ti-1)
2- p(Gn(ti) – Gn(ti-1).
2- p2n(ti – ti-1)
2n(1- p)
2n(1- p),
Sea p : 0 = t0 < t1 < … < tm = 1 una partici´on cualquiera del intervalo
cerrado [0,1]. Entonces es claro que
m-1
i=0
ti+1
ti
k
n=1
anfn
du
p
1
p
=
m-1
i=0
k
n=1
ti+1
ti
anfndu
p
1
p
=
m-1
i=0
k
n=1
an2
-n
p
ti+1
ti
gndu
p
1
p
,
es decir, para a = supn |an| se tiene
m-1
i=0
ti+1
ti
k
n=1
anfndu
p
1
p
=
m-1
i=0
k
n=1
2
(Gn(ti-1) – Gn(ti))
p
1
p
(2.16)
Sea ahora 1 = i = m ?jo. Se divide la suma
k
n
(2.17)
n=1

en dos sumas S1,S2, donde

S1 =
n:ti-ti-1=2-n
S2 =
n:ti-ti-1>2-n
n

n
(2.18)

(2.19)
Obviamente se cumple para ti – ti-1 =
1
2n
la acotaci´on
ti

ti-1
gn(u)du = 2n(ti – ti-1).
|Gn(ti) – Gn(ti-1)| =

Entonces es
n
S1 =
n:ti-ti-1=2-n
= (ti – ti-1)
n:ti-ti-1
=2-n
n
(2.20)
Reescribiendo esta desigualdad es
S1 = (ti – ti-1)
mi
n=0
n
(2.21)
39

n(1-np)
2(mi+1)(1-p) – 1
21-p – 1
2(1-p) – 1
2(mi+1)(1-p)
2(1-p)
2(1-p) – 1
2mi(1-p).
S1 = Cp (1)(ti – ti-1) p
2(1-p)
2(1-p) – 1
2- p.
2- p,
donde
2mi =
1
ti – ti-1
,
(2.22)
pero
2mi+1 >
1
ti – ti-1
.
(2.23)
Pero la suma en la parte derecha de (2.21) es una progresi´on geom´etrica ?nita.
Entonces
mi

n=0
2
1
1
1
=

=

=
1
1
1

1
1
(2.24)
De ello se deduce entonces por (2.22) la acotaci´on

1

con
C(1)
p
=
1
1
.
Por otra parte, de (2.15) es f´acil de ver que 0 = Gn(x) = 1 para todo x ? [0,1],
entonces

|Gn(x) – Gn(y)| = 1

para todos x,y del intervalo cerrado [0,1] y todo n´umero natural n. Por tanto
S2 =
n
n:ti-ti-1 0
existe un n´umero real de > 0 con
|sp(f,g) – I| < ,
para cualquier partici´on p de [a,b] de norma menor que de y cualquier selecci´on
de los puntos intermedios ?i. En ese caso el valor I se llama integral de tipo
Riemann-Stieltjes de f respecto a g en [a,b] y se denota
b
f(x)Dg(x).
a

42

G(x) =
N´otese que si en lugar de funci´on g ? JFp[a,b] se considera la funci´on
x
a
g(u)du,
sp(f,g) =
entonces por (2.30) se tiene

n
i=1
f(?i)
ti
ti-1
g(u)du =
n
i=1
f(?i)(G(ti) – G(ti-1)).
Por tanto, se deduce que existe la integral de tipo Riemann-Stieltjes de f respecto
a una funci´on g ? JFp[a,b] en [a,b] si y s´olo si existe la integral cl´asica de Riemann-
Stieltjes de f respecto a la funci´on G en [a,b].

Por otra parte, se tiene que
sp(f,g) =
n
i=1
f(?i)
ti
ti-1
g(u)du =
n
i=1
ti
ti-1
f(?i)g(u)du.
Ahora, dada la relaci´on entre las funciones g y G, obviamente es
g
p
= G
Vp
= Vp(g)
1 q
y aplicando el teorema 1.17 se obtiene entonces:

Teorema 2.13
Sean f,g dos funciones de?nidas en el intervalo cerrado [a,b], tal que f(a) = 0
y g ? JFq[a,b] y sean p,q tales que p + 1 > 1. Entonces para toda partici´on
p de [a,b] se cumple
|sp(f,g)| =
1+ ?
1
p
+
1
q
Vp(f) g q,
donde
?(t) =
8

n=1
1
nt
es la funci´on Zeta de Riemann.

Este teorema permite a?rmar que si la funci´on f, de p-variaci´on acotada en [a,b],
es integrable de tipo Riemann-Stieltjes respecto a la funci´on g ? JFq[a,b], entonces
se cumple
b
a
fDg =
1+ ?
1
p
+
1
q
Vp(f) g q,
43

1 q
1 q
para p + 1 > 1. De hecho, la integrabilidad de f respecto a g queda garantizada si
f es absolutamente p-continua en [a,b] (ver ([20]), de donde se deduce el siguiente
teorema:
Teorema 2.14
Sean las funciones f ? Cp[a,b] y g ? JFq[a,b] con p + 1 > 1. Entonces f es
integrable de tipo Riemann-Stieltjes respecto a g en [a,b] y se cumple
b
a
fDg =
1+ ?
1
p
+
1
q
Vp(f) g q.
donde ? es la funci´on Zeta de Riemann.
Este teorema permite identi?car al espacio JFp[a,b] como subespacio del espacio
dual de Cp[a,b]. Sin embargo, la obtenci´on de un teorema de representaci´on para
los elementos de (Cp[a,b])*, exige un estudio m´as profundo de la relaci´on entre estos
espacios, lo cual queda como objetivo de trabajos futuros. Es en esta l´inea que se
de?nen tambi´en en el siguiente ep´igrafe ciertas variaciones en la de?nici´on del espacio
de funciones de tipo James, las cuales pudieran apoyar en dicha investigaci´on.
2.4.
Sobre posibles generalizaciones del espacio
´
de funciones de tipo James

La siguiente constituye una variaci´on de la de?nici´on del espacio de funciones de
tipo James a partir de la misma idea original de Lindenstrauss y Stegall (ver [13]):
Definicion 2.6
Se llama p-variaci´on integral de una funci´on f : [a,b] ? R al valor
JVp(f) = sup
p
n-1
i=0
ti+1
ti
f(u)du
p
1
p
(el supremo se toma sobre todas las particiones p : a = t0 < t1 < … < tn = b
de [a,b]).
Se denota por IVp[a,b] al espacio de las funciones de p-variaci´on integral
acotada. Es decir,
JVp(f) < 8}.
IVp[a,b] = {f : [a,b] ? R;

En IVp[a,b] se de?ne la relaci´on
f ~ g
?
JVp(f – g) = 0.
Resulta sencillo comprobar que ´esta de?ne una relaci´on de equivalencia en
IVp[a,b]. Se denota por IV p[a,b] al espacio cociente IVp[a,b]/~.

44

= e
De manera an´aloga al comentario desarrollado en la de?nici´on de JFp[a,b] se com-
prueba que este espacio (de clases de equivalencia) puede ser f´acilmente identi?cado
como un espacio de funciones. Entonces se cumple el siguiente teorema.

Teorema 2.15
El espacio IV p[a,b] es un espacio de Banach con la norma
f
p
= JVp(f).
Demostraci´on:
La demostraci´on de las propiedades de la norma es totalmente an´aloga a la desa-
rrollada en el teorema 2.3.

Para comprobar que IV p[a,b] es un espacio de Banach, sea {fn} una sucesi´on de
Cauchy en IVp[a,b], es decir, para todo e > 0 existe N > 0 tal que
fn – fm
p
1.

En los estudios por la obtenci´on de un teorema de representaci´on para este espacio,
se proponen adem´as dos posibles generalizaciones, de las cuales una se re?ere en
particular a funciones abstractas f : [a,b] ? X, siendo X un espacio normado. La
ventaja de este tipo de de?nici´on es que se basa en una cierta convergencia d´ebil, lo
cual pudiera conducir a buenos resultados en relaci´on con la dualidad.
49

´
Recomendaciones

Al obtener en esta tesis una colecci´on considerable de resultados acerca de la
estructura del espacio JFp[a,b] surge como inquietud natural la cuesti´on sobre la
dualidad de este; dej´andose esta ultima como l´inea de trabajo para dar continuidad
a la investigaci´on.

Tambi´en, dada la naturaleza de algunas t´ecnicas de demostraci´on utilizadas se im-
pone la idea de buscar apoyo en la teor´ia de aproximaci´on para esclarecer y establecer
relaciones entre los espacios que aqu´i se estudian y otros ya conocidos.

Tampoco resultar´ia ocioso trabajar sobre las ideas de generilaci´on expuestas, con-
siderando X un espacio con determinadas caracter´isticas pre?jadas.
50

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